Sistemas de numeración
Todas las culturas generalmente necesitan contar. Contar personas, días, objetos, distancias, productos, son acciones de la vida cotidiana, y por eso los números son esenciales para las sociedades. Los números no son más que los símbolos utilizados para contar.
Los niños empiezan a contar con los dedos, antes de estar familiarizados con los números, porque contar con los dedos es mucho más explícito que contar con símbolos gráficos, y por tanto más fácil de entender.
En el principio de la humanidad, las personas usaban los dedos para contar, o también cualquier objeto pequeño como piedras, palos, semillas o frutos. También se sabe que contaban haciendo pequeños nudos en cuerdas. Estos sistemas son útiles para contar pequeñas cantidades, pero cuando las cantidades aumentan considerablemente, como por ejemplo para representar 1.000 ó 2.000 o 10.000, estos métodos ya no son tan satisfactorios porque llevan demasiado tiempo y esfuerzo. De aquí deriva la necesidad de utilizar símbolos con los que se pueda contar cantidades grandes sin requerir un esfuerzo exagerado.
Obviamente, diferentes culturas han creado diferentes sistemas de numeración, y en este trabajo voy a explicar algunos de los más famosos.
TIPOS DE SISTEMAS
En primer lugar, para crear un sistema de numeración es imprescindible establecer una base de numeración, y a partir de ella desarrollar el sistema.
La base está constituida por el número de símbolos que se utilizan en el sistema. A los símbolos de los sistemas numéricos se les suele llamar cifras o números en general. Así, por ejemplo, nuestro sistema, que es el decimal, es de base 10, porque utiliza 10 símbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. La base se elige libremente, siempre y cuando sea un número natural mayor que 1; sin embargo, si la base es demasiado pequeña, se requerirán muchos símbolos para escribir simplemente un número (por ejemplo, en un sistema de base 2, una sola cifra como 9 se escribiría con 4 símbolos, 1001) y si la base es demasiado grande ocurrirá lo mismo. Por esta razón, muchos sistemas son poco utilizados, pues necesitan demasiados símbolos para representar números grandes, o incluso no pueden representar dichos números, dejando ya de lado efectuar operaciones simples como sumar o multiplicar.
La mayoría de los sistemas a lo largo de la historia han utilizado como base 10, seguramente originaria de los 10 dedos de las manos, y por eso también la gran mayoría de métodos han utilizado la misma agrupación para contar de unidades, decenas, centenas, millares, decenas de millar, centenas de millar, etc. que utilizamos nosotros, y como descripción general, casi todos los sistemas sirven para representar números enteros (Z), es decir, números positivos y negativos como 2 y -36 y 0. Sin embargo, las formas de escribir los números sí que han sido muy variadas, cambiando mucho de un pueblo a otro.
Para empezar, hay que saber que todos los sistemas de numeración se clasifican en dos grandes grupos: posicionales y no posicionales.
Los posicionales (o también ponderados), como su propio nombre indica, son aquellos en que la posición que ocupa una cifra dentro del número es muy importante, porque es lo que indica las unidades, las decenas, las centenas, etc. y son en los que el concepto de base de numeración se aplica, pues la base indica el número de símbolos que se pueden utilizar y representa el número de unidades que hacen falta para empezar otra unidad de orden superior.
Los no posicionales utilizan símbolos que representan su valor asignado sin importar la posición que ocupen dentro del número, por lo que el orden de los símbolos es indiferente. Los sistemas no posicionales son los más antiguos y menos desarrollados, y son más difíciles de utilizar.
A su vez los no posicionales pueden ser aditivos e híbridos o mixtos, siendo los primeros los que simplemente añaden el valor de un símbolo al siguiente hasta completar el número, sin importancia alguna de la posición, y los segundos los que mezclan las características de los aditivos con un principio de multiplicación. Es decir, si por ejemplo se quiere representar el número 1.000, un sistema aditivo pondría 10 símbolos de 100, mientras que un sistema híbrido utilizaría el 10 y el 100, multiplicándolos. En este sistema el orden sí que importa, pues si no se podrían confundir números como 202= 2 x 100 + 2, y 100 + 2 x 2= 204 ó 2 x 2 + 100 = 104. Este sistema es el antecesor del posicional, ya que es lógico intentar simplificar las potencias de 10 que se repiten continuamente en los mismos lugares. Esto es lo que dio origen al 0, la marca que indica que hemos pasado a otro orden superior o que un orden está vacío, como por ejemplo 1.500, donde los 2 ceros indican que estamos en millares (en vez de poner 5 x 100 + 1.000), y que no se confunda con 1.050 (5 x 10 + 1.000), donde el cero indica que las centenas están vacías aunque el número esté en orden de millar.
Empezaremos hablando de los sistemas no posicionales, por ser los más antiguos y los menos evolucionados. Entre éstos se encuentran varios sistemas de pueblos de la Antigüedad como los antiguos egipcios, los griegos y cretenses, los romanos y los aztecas.
SISTEMA DE NUMERACIÓN EGIPCIO
El Antiguo Egipto utilizaba un sistema aditivo basado en jeroglíficos, es decir, pictórico. Al ser un sistema aditivo, el orden de los símbolos no importaba, y por eso muchas veces no se escribían seguidos unos de otros, sino amontonándolos o creando figuras para embellecer el dibujo. Usaban los jeroglíficos de la figura:
Por cada unidad escribían una raya vertical, por cada decena un arco, por cada centena una espiral, y así seguían asociando a cada orden superior (millar, decena de millar, centena de millar y millón) un jeroglífico diferente. Así se completaban todas las unidades que fueran necesarias para escribir un número. Por ejemplo, si se quiere escribir 1.576, se pondría el jeroglífico que representa 1.000, más 5 jeroglíficos de 100, más 7 de 10 más 6 unidades. Se podía cambiar la orientación de los símbolos, y escribirlos en cualquier dirección. Más tarde se introdujeron símbolos específicos para algunas de las cifras más utilizadas como 20, 30…, 200, 300…, 2000, etc. para agilizar la escritura de los números y no tener que escribir tantos símbolos. Con la conquista de Egipto por el imperio romano hacia el siglo I a.C. los números egipcios fueron sustituidos por los griegos y romanos, si bien ya antes su uso se había reducido a monumentos, siendo utilizada en el día a día de los escribas la escritura hierática y demótica, más sencilla de hacer. Así que en resumen tuvieron dos sistemas, uno jeroglífico y otro hierático.
SISTEMA DE NUMERACIÓN GRIEGO
Los griegos tenían sistemas diferentes para los números cardinales y los ordinales, aunque aquí sólo tratamos los cardinales. Por otra parte, al igual que los egipcios, los griegos desarrollaron dos sistemas: el sistema ático o acrofónico y el sistema jónico.
El sistema acrofónico, cuyo nombre deriva del griego ‘acro’= cabeza, lo que empieza y ‘phonos’=sonido, quiere decir que el símbolo utilizado para el número es la primera letra del nombre de ese número. Este sistema fue el primero que se desarrolló en Grecia, hacia el 600 a.C., y era un sistema de base 10, o sea decimal, con 9 símbolos, pero aditivo, es decir, que se iban añadiendo todos los símbolos necesarios para formar un número.
Éstos son los símbolos que se utilizaban y cómo se escribiría por ejemplo 3.737:
El sistema jónico o alfabético viene de dar a los números el mismo símbolo que las letras del alfabeto. Este sistema, también llamado numeración alfabética, era al igual que el anterior, decimal, no posicional y aditivo. Es decir, que lo que cambian son los símbolos. Se utilizaban las 24 letras del alfabeto griego, más 3 signos que también eran letras, pero que hoy en día ya no se usan.
De este modo, las 9 primeras letras se tomaron como los números del 1 al 9, las 9 siguientes por las decenas hasta el 90, y las últimas 9 como las centenas hasta 900. A estos símbolos se les añadían los necesarios para completar un número.
Pero lógicamente de esta forma no se pueden sumar números mayores a 999, por lo que los griegos crearon otros símbolos compuestos para los siguientes números.
Para los millares hasta 9.000 se añadía un superíndice o un subíndice iota a los símbolos del 1 al 9, y para números mayores utilizaban la miríada, una unidad de medida que equivalía a 10.000, escribiendo encima o al lado de una M grande el número en pequeño, lo que quería decir que éste estaba multiplicado por 10.000.
La primera fue la de Arquímedes, que elaboró un sistema utilizando octeto. Partiendo de 108 = 100.000.000 y utilizando las diversas potencias de 10 elevadas a los múltiplos de 8 Arquímedes estableció los octetos; así, el primer octeto estaría formado por los números desde el 10.000 hasta el 100.000.000, el segundo sería entre 108 y 1016 , y de igual modo los siguientes. Este sistema da un valor aproximado y relativo, pero que indica una clara superioridad entre una cifra y otra. De esta manera Arquímedes dio como medida de los granos de arena que podrían caber en el universo el octavo octeto, o sea 1064 .
Medio siglo más tarde otro matemático, Apolonio, creó un sistema parecido basándose en las potencias de la miríada y tomando como partida 10.000 = 104, y de ésta ir elevando a potencias. Su método consistía en escribir una M mayúscula, y sobre ella a, que indicaría los 10.000, b sería la M elevada a 2, es decir, 100.000.000, y así sigue según la necesidad.
El primer sistema de numeración chino fue uno decimal, que con base 10, utilizaba los símbolos equivalentes a diferentes potencias de 10. Se calcula que este sistema data aproximadamente del 1.500 a.C.
Estos son los símbolos que se utilizaban:
Se aplicaba el principio de multiplicación entre los 10 primeros números y las potencias de 10 para conseguir los números, y el orden era muy importante, porque de otro podrían confundirse los números. Los símbolos deben escribirse en el orden del número que se quiera representar; primero las decenas, centenas, etc. y después las unidades concretas. Normalmente los números se escribían en grupos verticales, de arriba abajo, aunque
también se pueden ver escritos al estilo occidental, y según este método no es necesario poner ceros, pues el símbolo ya indica la potencia de 10 que indica el orden decimal; sin embargo, se han encontrado ejemplos en los que se prescindía del símbolo para la potencia de 10.
Después se desarrolló otro sistema, más moderno, posicional, casi igual al de hoy, que crearon los grandes sabios, que ya incluyó la aparición del 0 en el siglo VIII por influencia india, y que desde entonces sigue vigente.
Los aztecas idearon otro sistema aditivo, utilizando como base el 20, y dando a los números un símbolo representando un objeto tomado de la vida cotidiana. Los símbolos eran dibujos, parecidos a los jeroglíficos egipcios, ideogramas, y cada uno representaba una idea propia y un concepto astronómico. A los símbolos aztecas también se les llama glifos.
Mediante la multiplicación se obtenía el número representado multiplicando el número de glifos iguales por la cifra correspondiente a la posición que ocupan, y después se sumaban los resultados.
Este sistema vigesimal fue el que hizo que los aztecas crearan una ciencia astronómica muy evolucionada. Consiguieron desarrollar un calendario, dividido en días, meses y años, extraordinariamente exacto para la época, en el cual, con los aparatos de mediación de hoy en día, se ha encontrado muy poco margen de error.
SISTEMA DE NUMERACIÓN MAYA
Los mayas tuvieron primero un sistema no posicional y no decimal, con símbolos diferentes para cada unidad y que utilizaba el cero, pero no para marcar la posición. Este sistema fue poco importante, porque entre los siglos IV y III a.C. los calculadores del calendario introdujeron un nuevo sistema, posicional, de base mixta, 20 y 5 y que utilizaba el cero ( ).
Los mayas elaboraron un sistema posicional de. En este sistema, la posición es imprescindible para determinar el número del que se trata. Los símbolos se escribían en vertical, de arriba abajo, escribiendo primero el de mayor orden. Según la posición, había que multiplicar el valor del símbolo por las diversas potencias de 20, y después sumar el resultado. Usaban el cero para indicar cuando algún orden estaba vacío, pues de otra manera se confundirían los números ya que el valor de cada cifra depende de su posición.
Sin embargo, los mayas tenían una irregularidad en su sistema, pero hecha a propósito. Para escribir las fechas utilizaron el 18 en vez de la base 20 en las unidades de tercer orden; en vez de 20×20=400, se multiplicaba la cifra en la tercera posición desde abajo por 20×18=360; 20×360=7.200, etc., puesto que los mayas eran grandes astrónomos y daban mucha importancia al calendario, y de este modo conseguían un número muy cercano a la duración de un año solar quitando los días funestos o festivos (365 días:18 meses de 20 días más 5 días festivos). De hecho, los mayas inventaron su sistema de numeración para medir el tiempo y el calendario, y no para hacer cálculos matemáticos. Pues como se puede comprobar en los ejemplos, este sistema es lógico pero un poco complicado a la hora de conseguir el número final.
En la Antigua Mesopotamia se desarrollaron varios pueblos y distintos sistemas de numeración, pero el que destaca sin dudar es el de los antiguos babilonios. Apareció más o menos a la vez que la escritura, sobre el 3.300 a.C. y era un sistema mixto: aditivo y de base 10 hasta el 60, y posicional de base 60 para números superiores a éste.
El sistema se valía solamente de 2 símbolos, uno con forma de cuña que representaba la unidad y otro con forma de delta que representaba 10.
Iban añadiendo unidades según fuera necesario, valiéndose del símbolo para 10 para ahorrar espacio.
Estas son las letras y su valor numérico:
Una letra escrita a la derecha de otra de igual o mayor valor le suma a ésta su valor. Ejemplos: VI= 5+1=6 CX=100+10=110
Una o varias letras con una raya encima, multiplica por 1.000 su valor, con 2 rayas se multiplica por 1 millón, con tres rayas por 1.0003 y así sucesivamente.
Hay que tener en cuenta para la resta que:
– la letra I sólo puede restar a V y a X. *IC>XCIX=99
Ej.: *IVI>V=5 *XXL>XXX=30
XIX=19 LIV=54 CXXIX=129
Las letras I, X, C y M no se pueden repetir más de 3 veces seguidas, mientras que las letras V, L y D no se pueden escribir 2 veces seguidas.
Siguiendo estas reglas, así se escribirían las centenas hasta 100:
10 = X 20 = XX 30 = XXX 40 = XL 50 = L 60 = LX 70= LXX 80 = LXXX 90 = XC
149= CXLIX 245= CCXLV 399=CCCXCIX 444=CDXLIV 899=DCCCXCIX 976=CMLXXVI 999=CMXCIX 2.345=MMCCCXLV
6º orden Centena de millar | 5º orden Decena de millar | 4º orden Millar | 3er orden Centena | 2º orden Decena | 1erorden Unidad |
100.000 | 10.000 | 1.000 | 100 | 10 | 1 |
De este modo, para leer un número, se debe dividir en números de tres cifras empezando desde el final, y después se lee cada orden final.
Por ejemplo: 236.854.971 sería: 236 millones, 854 mil, 971 (unidades).
10 = 101
100 =102
1.000 = 103
10.000 = 104
100.000 = 105
1.000.000 = 106
10.000.000 = 107
De este modo, podemos poner el número 954. 525.677 de esta forma: (9 x 108) + (5 x 107) + (4 x 106) + (5 x 105) + (2 x 104) + (5 x 103) + (6 x 102) + (7 x 101) + (7 x 100).
Y al contrario, podemos escribir un número a partir de su desarrollo exponencial: 4 x 105 =400.000 7 x 104 = 70.000 2 x 103 = 2.000 3 x 102 = 300 5 x 101= 50 1 x 100 = 1 472.351 |
A raíz del sistema decimal, más recientemente se han creado otros sistemas basados en el decimal pero cambiando la base. Así tenemos el binario de base 2, el octal de base 8, el duodecimal de base 12 y el hexadecimal de base 16, que son utilizados en campos específicos.
El sistema binario es un sistema posicional de base 2 que sólo utiliza dos símbolos, el cero (0) y el uno (1). Según la posición, cada cifra tiene distinto valor. Los órdenes se forman según el 2, es decir, que dos unidades de un orden forman la siguiente unidad de orden superior. Cada posición equivale a una potencia de base 2 elevada al número de la posición del dígito menos uno.
Así, el número 1011 equivaldría a: 1×2(4-1) + 0x2(3-1) + 1×2(2-1) + 1x 2(1-1)
1×23 + 0x22+ 1×21 + 1x 20 = 8+0+2+1 = 11
Obviamente, con este sistema hacen falta muchos más dígitos para expresar un número grande. Por ejemplo, para expresar números mayores de 255 se necesitarán más de ocho dígitos, ya que 28 = 256, lo que implica que 255 es el número más grande que se puede expresar con ocho dígitos. En general, para un número n de dígitos puede expresarse como máximo 2n números. El número más grande que se puede escribir con n dígitos sería 2n – 1.
Con el sistema binario también se puede operar, de forma parecida a la del sistema decimal se pueden hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones.
El sistema binario lo utilizan los sistemas digitales, pues es muy útil para trabajar con ordenadores.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DUODECIMAL
El sistema duodecimal, como su nombre indica, es de base 12, teniendo los mismos símbolos que el decimal hasta el 10, más las dos primeras letras griegas (a y b).
Este sistema fue propuesto por el francés Georges-Louis Leclerc, conde de Bufón en el siglo XVIII, porque pensaba que el 10 era un número demasiado grande para la cantidad de divisores enteros que tiene (sólo el 1, el 2, el 5 y el 10), mientras que el 12, que no es mucho más grande tiene más divisores: el 1, el 2, el 3, el 4, el 6 y el 12. Esto es importante para la división en fracciones, ya que en el sistema decimal la división se puede hacer en dos medios, en cinco partes o en diez partes. Para otras fracciones como los cuartos, los tercios o los sextos se necesitan dos (0,25) o infinitas cifras decimales (0,333….).
En cambio en el sistema duodecimal, los tercios, los cuartos, los sextos y las doceavas partes se podrían escribir con una sola cifra.
Como curiosidad, cabe destacar que la costumbre de contar algunos productos del mercado en docenas viene de la propuesta del sistema duodecimal.
Al igual que en el sistema binario, el valor de un dígito se calcula multiplicando el número escrito por una potencia de base 8 elevada en este caso simplemente a la posición que ocupa el dígito empezando desde la derecha. Así el número octal 8238 tiene un valor:
8 x 83 + 2 x 82 + 3 x 81 = 8 x 512 + 2 x 64 + 3 x 8 = 424810
8238 = 424810
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F
1A3F16 = 1×163 + Ax162 + 3×161 + Fx160
1A3F16 = 671910
karen millen
Nov 22, 2011 @ 00:30:50
Thank you for this article. That’s all I can say. You most definitely have made this blog into something special. You clearly know what you are doing, you’ve covered so many bases.Thanks!
kassidy
Nov 26, 2011 @ 22:03:05
You’re welcome!
so grateful + happy that my blog helps people 🙂
estefani
Mar 20, 2012 @ 19:47:19
esta informacion esta completisima
estefani
Mar 20, 2012 @ 19:48:45
estoy de acuerdo contigo
kassidy
Mar 20, 2012 @ 22:57:50
muchas gracias!
es un trabajo que tuve que hacer, y me pareció muy interesante y aprendí muchas cosas, asi que decidí ponerlo aquí.
satiereal saffron extract
May 23, 2012 @ 20:57:05
Thanks!
cinthya
Ago 15, 2012 @ 03:45:58
me parece muy interesante lo que contiene la pagina,
esta muy bien redactada y contiene los sistemas numericos mas conocidos y enseñados.
😉
kassidy
Ago 15, 2012 @ 23:48:20
Muchas gracias!
Como yo me quedé en 2º de primaria de matemáticas, decidí hacer el trabajo de sistemas de numeración que más o menos es historia 😉
Aunque no te creas, ya me costó meterme en el sistema babilonio, el binario o lasoperaciones con números romanos!
alejandro
Ago 28, 2012 @ 04:48:22
oooooooo
popo
Oct 02, 2012 @ 21:49:24
el sistema de numeracion asteca deseo desde el uno asta el 100
pepe
Oct 02, 2012 @ 21:51:25
xfaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡ ponlo
kassidy
Oct 03, 2012 @ 11:02:04
Pero es que no me lo sé! Esto es es sólo un trabajo que hice para clase un día, yo no soy ninguna experta. Buscalo en internet, a ver si viene, yo es donde lo encontré, o igual en algún libro especializado.
No hay un simbolo distinto para cada numero, tienes que multiplicar, pero ahora que lo leo, no entiendo muy bien como hacerlo.
Mira esto a ver si te ayuda:
http://blogs.ua.es/mundoazteca/2012/01/28/el-sistema-de-numeracion-azteca/
Haz clic para acceder a en1410.pdf
daniela
Oct 11, 2013 @ 01:17:14
si eta completa
Jhon
Ene 27, 2014 @ 19:04:56
La informacion esta muy buena… seria conveniente colocar la bibliografia de la cual se obtuvieron estos datos… Gracias de cualquier manera. Saludos.
kassidy
Ene 27, 2014 @ 22:25:07
Tienes toda la razón. Me parece raro que no la pusiera… igual no la hice ,pero me extraña porque fue un trabajo que tuve que entregar… Y ahora mismo no tengo ni el original, ni el otro ordenador donde está guardado ,así que no lo puedo mirar. Recuerdo que casi todo fueron páginas webs, y sí me acuerdo del libro de 5º de primaria que usé para los números romanos, jaja.
Intentaré acordarme cuando tenga acceso a estas cosas, y muchas gracias por tu comentario.
olga
May 18, 2014 @ 11:56:43
Excelente el recorrido por las difeturasrentes cul
Andres Gomez
Ene 29, 2015 @ 20:09:40
Lo chevere esta página web los felicito por tan excelente programa